Ecuación de la recta

El vector naranja representa el valor de la variable x. 

El vector en negro representa la ordenada al origen 5 (valor constante). 

El vector en rojo representa el valor variable 2x (doble de x). 

El vector en azul representa el valor de la variable y, suma de los vectores negro y rojo.

Cualquier punto de la recta tiene coordenadas x (vector naranja) e y (vector azul).

El vector naranja representa el valor de la variable x. 

El vector en negro representa la ordenada al origen 24 (valor constante). 

El vector en rojo representa el valor variable -3x (opuesto del triple de x, por lo cual la recta tiene pendiente -3). 

El vector en azul representa el valor de la variable y, suma de los vectores negro y rojo.

Cualquier punto de la recta tiene coordenadas x (vector naranja) e y (vector azul).

Aquí tienes una construcción interactiva para practicar.
Teniendo en cuenta la recta que aparece representada gráficamente, completa cada casilla:

Regularidades en polígonos

Esta animación tiene origen en el muy interesante problema planteado por Samuel Luján Moreno.




Al trazar todas las diagonales de un polígono regular de n lados:
¿Cuántas diagonales tiene?
¿Cuántas diagonales de medidas distintas tiene?
¿Cuántos puntos de intersección entre las diagonales?
¿En cuántas secciones queda particionado?

Veraces y mentirosos

Este problema apareció el 16/6/14 en el envío semanal 15 de Olimpíada Matemática Argentina:

Hay 2000 personas paradas en una fila. Cada una de ellas es un mentiroso, que siempre miente, o un veraz, que siempre dice la verdad. Cada una de las personas dice la misma frase: “Hay más mentirosos a mi izquierda que veraces a mi derecha.” Determinar, si es posible, cuántas personas de cada clase hay en la fila. 

Al igual que el problema de los alumnos y los paseos, este me dejó desconcertado. Lo primero que vino a mi cabeza fue como todos dirigían la mirada hacia mi y exclamaban en tono neutro pero sistemático “Hay más mentirosos a mi izquierda que veraces a mi derecha”, al estilo de los "muertos vivos" que aparecen en el videoclip “Thriller” de Michael Jackson (1982).
Cuando se me pasó el miedo, aparecieron las ideas. 

Si me están mirando, ellos tienen su derecha a mi izquierda y su izquierda a mi derecha. Un diagrama puede aclarar la situación:

En primer lugar, supongamos que una persona miente. En consecuencia, es verdad lo contrario de lo que afirma la frase: los mentirosos a su izquierda son tantos o menos que los veraces a su derecha. Aclarémoslo más. Si la frase dice “los mentirosos a la izquierda son más que los veraces a la derecha”, entonces lo contrario es la negación de esto, es decir, no ocurre que los mentirosos a la izquierda son más que los veraces a la derecha, lo que entonces equivale a decir que los mentirosos a la izquierda son una cantidad igual o menor que los veraces a la derecha.

Resumiendo, si llamamos Mi al número de mentirosos a la izquierda y Vd al número de veraces a la derecha, tenemos:

Si hay 2000 personas, comencemos evaluando a la primera. Si miente, es verdad que Mi menor o igual que Vd. Pero no tiene veraces a la derecha, es decir, Vd = 0, y los Mi no pueden ser menos que 0!!!! Por lo tanto, esta contradicción nos conduce a que la persona 1 dice la verdad.

Esta conclusión nos lleva de inmediato a evaluar a la última persona. Si miente, entonces Mi es menor o igual que Vd. Como Mi = 0, entonces Vd puede ser cualquier número entre 0 y 1999, lo cual es perfectamente posible. ¿Qué pasa si suponemos que dice la verdad? En este caso, entonces Mi > Vd, pero no tiene mentirosos a la izquierda, o sea, Mi = 0 y los Vd no pueden ser menor que 0!!!! Otra vez arribamos a una contradicción. Por lo tanto, la persona 2000 miente. 
Entonces hasta aquí, la cuestión puede representarse así: 

A continuación evaluamos la persona 2. 
(1) Si miente significa que Mi menor o igual que Vd. Como Vd = 1, Mi = 0 o Mi = 1. Descartamos la primera posibilidad porque la última persona es M, en consecuencia, Mi = 1. Pero esto conduce necesariamente a que todos a la izquierda de 2 son V, excepto la persona 2000:

(2) Si 2 dice la verdad, Mi > Vd y como Vd = 1 entonces Mi puede ser cualquier valor entre 2 y 1998:

No hay nada que contradiga ninguna de las dos alternativas para la persona 2. Sin embargo, la posibilidad (1) es difícil que se verifique.

Sigamos indagando dando por sentado (1). Pero, ¿por dónde seguir? Si seguimos con 3, para no contradecir lo anterior debe ser V, lo que conduce a que Mi > 1. Entonces tenemos:

Entonces como mínimo una de las 1996 personas desde 4 hasta 1999 es M, pero esto se contradice con (1) que supone que 2 es M, porque si 2 es M desde la persona 3 hasta la 1999 son V!!!!. O sea que si 2 es M, 3 no puede ser ni M ni V, porque ambas llevan a contradicción!!!! Entonces 2 no es M o es lo mismo decir que 2 es V.
Luego, hasta aquí la cuestión es así:

Adelante, no desesperes.

Variación del cociente incremental cuando el incremento en x (Δx) tiende a 0

La animación muestra como varía el cociente incremental Δy/Δx o, lo que es lo mismo, la pendiente de la recta r cuando el cambio en x (Δx)  tiende a 0.

Alumnos y paseos.

Este problema apareció el 12/5/14 en el envío semanal 10 de Olimpíada Matemática Argentina:

En una clase de 20 alumnos se organizan varios paseos. En cada paseo hay al menos un alumno que participa de ese paseo. Demostrar que hay un paseo tal que cada uno de los alumnos que fue a ese paseo también fue a por lo menos 1/20 del total de todos los paseos. 

Por suerte, los problemas de OMA no dejan de sorprenderme. Este en particular, porque apenas terminé de leerlo quedé tan perplejo como sencillo es el enunciado. Obviamente, como se imaginarán, releí el texto no menos de una docena de veces, y no tenía ni la menor idea por dónde empezar. Los envíos seguían llegando y este quedó relegado para cuando con tiempo y mucho coraje pudiera garabatear algo. Un día me lo propuse. Sólo transcribí la escasa información, pero no atiné a nada. Pasaron un par de semanas y volví a sentarme, y se me ocurrió algo.

Llamamos a a la cantidad de alumnos que asisten a por lo menos un paseo y p a la cantidad de paseos. Podemos escribir un conjunto fila de alumnos y un conjunto fila de paseos con el objeto de establecer que tipo de correspondencia y/o relaciones hay entre ellos. Por ejemplo, supongamos  a = 1 y p = 2:

 Ahora supongamos  a = 2 y p = 2:

Pasemos al caso  a = 3 y p = 2. Como a > p, hay algún P (no importa cual) que recibe a 2 alumnos:

Pero puede ser que algunos alumnos o todos vayan a más de un paseo:

El caso extremo es que todos los alumnos vayan a todos los paseos:

Mirando estos ejemplos descubrí estas relaciones:

Las salidas de las flechas de cualquier A me indican a cuantos paseos fue ese alumno.
Las llegadas de las flechas a cualquier P me indican cuántos alumnos fueron a ese paseo.
Como cada flecha tiene una "salida" y una "llegada", la suma de todas las salidas es igual a la suma de todas las llegadas e igual al total de flechas. Esto es, la suma de todos los paseos a los que fueron los a alumnos es igual a la suma de los alumnos que fueron a los p paseos.

Veamos que se cumplen en los tres últimos ejemplos:

Además, el mínimo de flechas es a (si a > p) y el máximo es a.p :

A partir de aquí, pude escudriñar un camino para resolver el problema. Como siempre, una parte queda para vos. Que disfrutes del paseo. Al fin y al cabo, de eso se trata un buen problema, de un buen viaje más allá de un buen destino.

¿Qué son las matemáticas? Parte 2 : Matemáticos en primera persona.

En este espacio se ha planteado y discutido la enseñanza de las matemáticas en referencia a la concepción del quehacer matemático y qué son las matemáticas. Es muy gratificante para mi -desde el llano- observar como los especialistas confirman y avalan algunos de los principios que desde aquí sostenemos, como por ejemplo, la resignificación de los tiempos y los espacios en el aula para la exploración y la discusión y la no linealidad en las clases. 

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Pendiente de una recta

Llega el verano y tenemos la suerte de poder ir a la casa de nuestro mejor amigo que cuenta con una hermosa piscina cuyas generosas dimensiones son 40 dm x 30 dm x 15 dm -largo por ancho por profundidad- o es lo mismo decir 4m x 3m x 1,5m, por lo cual su volumen o capacidad es de 18000 dm³ (decímetros cúbicos) = 18000 l (litros) = 18 m³ (metros cúbicos). 

El caudal de la canilla que hay a mano para conectar una manguera y llenar la pileta es de 12 l/minuto (12 litros por minuto). Después de ayudar a nuestro amigo a limpiar la pileta, ponemos a llenar la misma. Pasa el tiempo y el volumen de agua en la pileta aumenta. Más precisamente, por cada minuto el volumen aumenta 12 litros. Con esta idea clara, establecemos una relación entre los minutos a lo largo de los cuales permanece abierta la canilla y los 12 litros que se van incorporando a la piscina en cada uno de ellos: 

Si reiteramos este proceso, con paciencia, podemos arribar al tiempo necesario para llenar la pileta. Por su puesto, podemos “saltar” en el tiempo no cada un minuto, sino cada 10, 20, 60 o mayor aún, por ejemplo, 5 o 10 horas:

Ahora podemos representar la “conexión” entre las dos variables  -tiempo desde que comenzó a llenarse la pileta y volumen en la misma- en un sistema de ejes cartesianos:

Podemos ajustar la escala en el eje de abscisas y representar valores hasta el minuto 1500 y en el eje de ordenadas hasta el litro 18000:

Entonces, la pendiente de la recta es la relación (razón o división) entre los cambios de ambas variables representadas. 

En otras palabras, cuánto cambio o variación de una se asocia con tanto cambio o variación de la otra. Indica el vínculo, nexo o puente entre lo que varían o cambian las dos variables en juego.
En nuestro ejemplo, un cambio de un minuto en el tiempo que permanece abierto el grifo produce un cambio de 12 litros en el volumen de agua en la pileta.

En otras situaciones ocurre que un cambio positivo o aumento en una variable produce una variación negativa o disminución en la otra. Por ejemplo, aquí vemos como la longitud de un sahumerio disminuye a medida que aumenta el tiempo desde que se encendió:

En este caso, el significado de la pendiente es que cada 1 minuto, la longitud del sahumerio cambia -2 cm, o sea, disminuye 2 cm.

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Enigmatemágico 9: Una parábola "incripta" en un triángulo rectángulo isósceles

El triángulo ABC es isósceles y rectángulo en C. El punto K se mueve libremente sobre el lado AB. Desde este punto, se trazan las dos rectas n y p, a 45 grados en sentido horario desde AB y a 45 grados en sentido antihorario desde AB, respectivamente. Estas rectas cortan al lado AC en L y al lado BC en M, respectivamente. La intersección entre el segmento LM y la recta m perpendicular al lado AB por el punto K determina el punto N. A medida que K se mueve sobre el lado AB, el punto N describe una curva que se llama PARÁBOLA, "inscripta" en el triángulo ABC.

¿Es posible encontrar la ecuación de la parábola "inscripta?

¿Qué son las matemáticas? Parte 1

Incluso antes de la primera edición del clásico What is Mathematics? en 1941, la pregunta retumbó en el colectivo neuronal de muchos de los grandes pensadores a lo largo de la historia. Sin embargo, a partir de la formulación de Richard Courant y Herbert Robbins la cuestión ha tomado relevancia considerable, al menos en los círculos ocupados y preocupados por la enseñanza de las matemáticas. 

Portada de la segunda edición en 1996

                                                                                   

La discusión no es trivial: las posibles respuestas dieron origen a diversos movimientos que han sugerido cambios en los contenidos y la forma de enseñanza (infinidad de papeles como DCP, PCI, DCI, etc) como por ejemplo, el de las “matemáticas modernas”, que recomendaba dar mayor énfasis a la estructura, al lenguaje formal y a la rigurosidad exhaustiva de las demostraciones desde los niveles elementales (aún registro en mi memoria a mi profe de primer año escribiendo en el pizarrón H), T) y D) y explicar la demostración de algún teorema de geometría para luego ser memorizada y, eventualmente, copiarla tal cual en un examen escrito si era solicitada). Otro movimiento, conocido como el “regreso a lo básico”, le daba mucha importancia al manejo de las operaciones fundamentales y procedimientos algorítmicos. Este surgió como una respuesta inmediata a las deficiencias que el movimiento de las matemáticas modernas había dejado en los estudiantes. El regreso a lo básico tampoco mejoró el desempeño, ya que aun cuando algunos estudiantes eran capaces de resolver operaciones, muchas veces no entendían el significado de las mismas o de los resultados. Por lo tanto en el movimiento de las matemáticas modernas como en el de regreso a lo básico, el estudiante desarrollaba ciertas formas de operar con las ideas matemáticas que no mostraban las características propias de ésta disciplina, y todo esto en un contexto netamente conductista en el cual el rol del alumno es totalmente pasivo y que reacciona a los estímulos impuestos (Santos Trigo, 1998).
Pero además del desarrollo de corrientes de pensamiento, las devoluciones a la inquietud planteada por Courant y Robbins que se... ¿produzcan, estudien, discutan, asuman, defiendan, refuten, cuestionen, impongan?... en los institutos de formación o en la conceptualización mental de maestros y profesores de matemáticas en ejercicio, trascienden y adquieren una importancia capital al momento de las prácticas aúlicas cotidianas, las cuales constituyen el primer eslabón -si no el de mayor grosor- en la cadena de contactos con esta ciencia.

Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet 

Más de tres siglos pasaron para que Andrew Wiles demostrara en 1995 el Último Teorema de Fermat, después de 8 años de trabajo ininterrumpido. Una analogía y un minuto le bastan para transmitir qué significa para él hacer matemáticas. Presten atención al escritorio de trabajo. Definitivamente el orden no hace a un gran matemático... 

El profesor José María Letona, Director en la Escuela de Pensamiento Matemático "Miguel de Guzmán", distingue situaciones en las clases de matemáticas en las que se prioriza el razonamiento en lugar de actividades mecánicas sin un por qué:

Además, pone en el centro de la discusión el eje de la tarea docente y el margen de acción con el que cuenta el maestro/profesor:

Enigmatemágico 8: Arte huev o... ¿huevadas simétricas?

"Aprender es buscar respuestas, pero para ello hacen falta las preguntas. ¿Quién se formula cuestiones matemáticas sobre lo que ve, hace, escucha o vive?. A mirar matemáticamente, a plantear problemas y a resolverlos también se aprende...Tal vez no se trate de un conocimiento novedoso a nivel mundial, pero habremos llevado a cabo un proceso prácticamente idéntico al del matemático profesional. Sin duda merecemos sentirnos tan dichosos como él. La experiencia educativa demuestra que así es..."                             
Miquel Albertí Palmer


Los sábados por la mañana, en general, me acerco por la Feria Franca Municipal para conseguir frutas y verduras, buenas y baratas. Manzanas, melones y frutas secas de primera en el puesto número 3, "Las Negritas"; huevos frescos en el puesto 6, "Silvia".

En una oportunidad, no recuerdo bien para qué, compré un cartón de huevos. Como casi todos saben, el "cartón de huevos" es una plancha de 5 x 6 huecos que contiene 30 huevos, es decir, dos docenas y media.

Para variar, por h o por b, no puse manos a la obra  a lo que tenía que hacer y el cartón con los 30 huevos quedó por ahí estorbando ese fin de semana. Pero, en los primeros días de la siguiente, hice una preparación y usé 4. Los elegí al azar y, curiosamente o casualmente, los restantes determinaron el siguiente arreglo o patrón:  

La disposición anterior es simétrica respecto a un eje vertical (imaginario) que pasa por el punto medio de los lados de medida 6 y divide al cartón en dos partes de 5 x 3, "una reflejo de la otra", si pensamos al eje de simetría como un espejo:

A estas disposiciones, arreglos o patrones simétricos determinados por la posición de los huevos en el cartón los llamaremos simetrías axiales (axial quiere decir relativas a un eje). Abajo va otra:

Esos segundos cotidianos, resquicios entre una cosa y otra en la a veces desapasionada vorágine diaria -al poner o levantar la mesa, esperando que Tom junte sus cosas para llevarlo a la escuela o hasta que salga la pizza del horno - me invitaban a huevear para encontrar cuántas simetrías axiales se pueden formar con 26 huevos en el cartón.
La cuestión se puede complejizar si tenemos en cuenta también el otro eje de simetría que tiene el cartón, el horizontal H:

Por ejemplo, la siguiente es una simetría axial doble con 26 huevos:

Si seguimos hueveando, considerando que el cartón puede tener de 1 a 30 huevos y, en cada uno de estos casos hay un determinado número de simetrías axiales, la suma de estos da el total de simetrías axiales del cartón de 5x6, distinto, por ejemplo, a un cartón de 3x4 (imaginario) o -el más fácil de explorar- al de media docena de 2x3. 
Es más, para huevear en profundidad, se pueden considerar tableros cuadrados que tienen 4 ejes de simetría, H, V, D1 (diagonal 1) y D2 (diagonal 2):

Para entretenerse. Eso si, sin romper los huevos. 

Formas binómica, rectangular o cartesiana y polar de un número complejo

Pinchando y arrastrando Z1 varía este, sus componentes rectangulares, su módulo y su argumento, observando la equivalencia entre las formas binómica, cartesiana y polar

Opuesto y conjugado de un número complejo

Pinchando y arrastrando en Z1 puedes ver como varía el complejo Z1, su opuesto y su conjugado:

Enigmatemágico 7: Un cuadrado pariente de los mágicos

Son bien conocidos los llamados cuadrados mágicos. Estos son tableros cuadrados de lado n, de manera tal que los enteros positivos desde 1 hasta n² se disponen para que la suma de los que aparecen en cada fila, columna o diagonal sea la misma.

Aquí vemos un ejemplo de lado n = 3 

Y aquí otro de lado n = 4 , muy especial, ya que aparece en una obra del pintor Alberto Durero, con muchas e interesantes propiedades:

Ahora bien, el problema que planteo aquí tiene un cierto parecido. 

Tomemos un cuadrado de lado n = 3, y dispongamos los  3² = 9 números desde 1 hasta 9. Distinguidos en colores aparecen los cuatro cuadrados de lado 2 contenidos en este cuadrado de lado 3 y las sumas de los números corrrespondientes:

¿Hay alguna forma de disponer los enteros positivos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 de manera tal que la suma de los cuatro números en cada uno de los cuatro cuadrados de lado 2 sea siempre la misma?

Enigmatemágico 6: una construcción geométrica

Pinchando y arrastrando cualquiera de los puntos A o B puedes modificar el cuadrado ABCD y pinchando y arrastrando cualquiera de los puntos E, G o H puedes variar el cuadrilátero EHFG. ¿Por qué el área de EHFG es siempre la mitad del área de ABCD?