Identidades trigonométricas

De la definición de las seis funciones trigonométricas para un ángulo orientado,



podemos establecer algunas relaciones entre ellas que son válidas para cualquier valor del ángulo.
Por ejemplo, si elegimos cosecante y tangente de un cierto ángulo orientado β y multiplicamos, tenemos:

Esto significa que, cualquiera sea el valor del ángulo β,  la cosecante de ese ángulo β multiplicada por la tangente de β da como resultado la secante de β.

La elección no es casual: hemos elegido dos funciones para las cuáles se pueda hacer alguna simplificación al multiplicarlas.

Análogamente, podemos elegir dos funciones para las cuales se pueda simplificar al dividirlas:

Otras identidades importantes son las llamadas pitagóricas:

Cualquiera sea el ángulo α, xα e yα  son los catetos y r la hipotenusa de un triángulo rectángulo, por lo cual, verifican el teorema de Pitágoras:

Si a esto agregamos que:

entonces:

Resolución de triángulos rectángulos

Existen infinidad de situaciones que se modelizan con  triángulos rectángulos:

Por ejemplo, vamos a determinar la longitud del cable (AB, hipotenusa) y la distancia desde el punto en el cual esta fijado el cable en el piso hasta el poste (AC, cateto adyacente al ángulo de 60°). Planteamos las tres razones trigonométricas principales y evaluamos cuál nos sirve:

Otro ejemplo. Supongamos que la altura de la torre BC = 50 m y que el observador se encuentra a una distancia AC = 80 m de la base de la torre (punto C). ¿Cuál es el ángulo de elevación?

¿Te animás con estas?

 AB = ?
















   x = ?

Un “truco” para medir la altura de una nube durante la noche consiste en proyectar un haz luminoso vertical que produce un lunar sobre ella. Supongamos que la marca se observa desde un punto a 135m de distancia y el ángulo de elevación  es 67° 40´. (El ángulo entre la horizontal y la línea visual se llama ángulo de elevación cuando hay que elevar la vista sobre la horizontal para dirigirla a un objeto). Calcula la altura h de la nube. 

En la agrimensura, a menudo hay que medir distancias horizontales, aun cuando el terreno no esté nivelado. Una forma de hacerlo es la siguiente: se mide la distancia cuesta abajo con la cinta del agrimensor, y la altura d  se mide observando el punto A al mismo nivel sobre el punto B, o se mide el ángulo a con un instrumento colocado en A. Supongamos que la distancia  L es 120 m y que el ángulo a es igual a   3° 25´. Calcula la medida horizontal H y la altura d.

h = ?













p = ?

Operaciones con números complejos

Suma y resta de números complejos Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com Pablo Miguel Sancerni, 25 Agosto 2013, Creado con GeoGebra

Multiplicación y división de números complejos Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com Pablo Miguel Sancerni, 25 Agosto 2013, Creado con GeoGebra

Ecuaciones: primera estación

Presta atención a la siguiente situación:

Una pista...

Y ahora, ¿qué se te ocurre hacer para poder equilibrar un cilindro celeste?

Ahora prueba con este desafío:

Si ya terminaste con el anterior, adelante con este:

Racionalización de denominadores

Racionalizar significa convertir en racional 

La racionalización de denominadores es un proceso en el cual se tiene que eliminar el o los radicales que están en el denominador de una fracción irracional para encontrar otra expresión equivalente que tenga denominador racional. La técnica que se usa consiste en  multiplicar el numerador y el denominador por una expresión adecuada, de forma que al operar, se elimine la raíz del denominador.

Según el tipo de radical que aparece en el denominador, se distinguen tres casos:

1er caso: raíz cuadrada

 

2do caso: raíz con índice mayor a 2

3er caso: binomio

Sabiendo que:

Multiplicamos por una fracción que tenga por numerador y denominador al binomio conjugado del denominador:

Operaciones con radicales

Un radical es una raíz irracional, como por ejemplo,  

       Recuerda que estos números, escritos en forma decimal, representan una aproximación de su valor real, debido a que es imposible escribirlos con todas sus cifras, puesto que tienen infinitas!!! . En otras palabras, la forma decimal no representa el valor exacto, sino un valor aproximado. 

En consecuencia, para operar en forma exacta, hay que operar con los radicales, no con sus representaciones decimales.