Enigmatemágico 1: Pirámide con propiedades

Mirando una vieja revista con pasatiempos, encontré unas pirámides numéricas. Y, medio resolviendo y medio divagando, se me planteó el problema que describo a continuación.

Si armamos pirámides que tengan como base a una fila con los números naturales desde 1 hasta n, y luego, cada elemento en una fila superior es la suma de los dos que tiene debajo, entonces en la última fila o cima aparece un número  que llamaremos número final. 
Vemos las pirámides para los primeros 5 intervalos iniciales naturales:

Si observas, las filas presentan algunas regularidades interesantes: por ejemplo, en la segunda fila (de abajo hacia arriba), aparecen los números impares. ¿Y en la tercera?

Más allá de esta y otras cuestiones que puedes descubrir, la pregunta que me interesó es: 
¿Cómo calcular el número final f(n) a partir  de n sin necesidad de construir la pirámide?