Medida de amplitud de ángulos: sistemas sexagesimal, centesimal y radial o circular. El radián

El sistema de medición de ángulos que conocemos desde los primeros años de la escuela primaria es el sistema sexagesimal, que consiste en dividir un giro o revolución en 360 partes iguales. Cada una de estas partes es 1 grado sexagesimal. En la figura, vemos un transportador con dos escalas. La interior corresponde al sistema centesimal, que divide a un recto en 100° centesimales, por lo cual una revolución equivale a 400° centesimales. En la exterior vemos los 360° sexagesimales que componen una revolución:

 y aquí un detalle de los 90° (sexagesimales) que componen un ángulo recto:

A su vez, un grado se puede dividir en 60 partes iguales. Cada una de estas partes es 1 minuto sexagesimal. Y éste, puede dividirse también en 60 partes iguales y cada una recibe el nombre de 1 segundo sexagesimal. Si todavía no te enteraste, sexagesimal viene de sesenta, y es el nombre que toma el sistema porque los submúltiplos del grado (el minuto y el segundo) se obtienen dividiendo por 60.

Resumiendo:

1 grado sexagesimal = 1°  

1 minuto sexagesimal = 1'

1 segundo sexagesimal = 1"

1 revolución = 360°

1 grado sexagesimal = 1° = 60' 

1 minuto sexagesimal = 60"

Hay otro sistema de medición de ángulos, usado internacionalmente, el sistema circular o radial, que describiremos a continuación. 
Si consideramos un segmento que gira, este segmento es el radio de una circunferencia (en un compás, el radio es el segmento imaginario entre el punto donde se pincha y el lápiz que marca la circunferencia). Cuando el radio r describe un cierto ángulo θ , subtiende ("encierra" o abarca) un arco de circunferencia s:

Ahora, centramos nuestra atención a calcular cuántas veces "entra" el radio r en el arco subtendido s. Esto es, la división entre s y r . Este resultado es la medida del ángulo θ en radianes

Un breve vídeo puede aclarar más la idea:

Aquí vemos un ángulo de 1 radian:

 y aquí uno de 2 radianes:

 y aquí 2, 3, 4, 5, 6 y, los 6,28... = 2π radianes que equivalen a una revolución o 360°:

Entonces, aquí tenemos una equivalencia fundamental entre los dos sistemas:

Dividiendo ambos miembros de esta igualdad por un mismo número, encontramos otra equivalencia. Y, así sucesivamente, dividiendo o multiplicando, obtenemos cualquier equivalencia entre los dos sistemas: