Enigmatemágico 8: Arte huev o... ¿huevadas simétricas?

"Aprender es buscar respuestas, pero para ello hacen falta las preguntas. ¿Quién se formula cuestiones matemáticas sobre lo que ve, hace, escucha o vive?. A mirar matemáticamente, a plantear problemas y a resolverlos también se aprende...Tal vez no se trate de un conocimiento novedoso a nivel mundial, pero habremos llevado a cabo un proceso prácticamente idéntico al del matemático profesional. Sin duda merecemos sentirnos tan dichosos como él. La experiencia educativa demuestra que así es..."                             
Miquel Albertí Palmer


Los sábados por la mañana, en general, me acerco por la Feria Franca Municipal para conseguir frutas y verduras, buenas y baratas. Manzanas, melones y frutas secas de primera en el puesto número 3, "Las Negritas"; huevos frescos en el puesto 6, "Silvia".

En una oportunidad, no recuerdo bien para qué, compré un cartón de huevos. Como casi todos saben, el "cartón de huevos" es una plancha de 5 x 6 huecos que contiene 30 huevos, es decir, dos docenas y media.

Para variar, por h o por b, no puse manos a la obra  a lo que tenía que hacer y el cartón con los 30 huevos quedó por ahí estorbando ese fin de semana. Pero, en los primeros días de la siguiente, hice una preparación y usé 4. Los elegí al azar y, curiosamente o casualmente, los restantes determinaron el siguiente arreglo o patrón:  

La disposición anterior es simétrica respecto a un eje vertical (imaginario) que pasa por el punto medio de los lados de medida 6 y divide al cartón en dos partes de 5 x 3, "una reflejo de la otra", si pensamos al eje de simetría como un espejo:

A estas disposiciones, arreglos o patrones simétricos determinados por la posición de los huevos en el cartón los llamaremos simetrías axiales (axial quiere decir relativas a un eje). Abajo va otra:

Esos segundos cotidianos, resquicios entre una cosa y otra en la a veces desapasionada vorágine diaria -al poner o levantar la mesa, esperando que Tom junte sus cosas para llevarlo a la escuela o hasta que salga la pizza del horno - me invitaban a huevear para encontrar cuántas simetrías axiales se pueden formar con 26 huevos en el cartón.
La cuestión se puede complejizar si tenemos en cuenta también el otro eje de simetría que tiene el cartón, el horizontal H:

Por ejemplo, la siguiente es una simetría axial doble con 26 huevos:

Si seguimos hueveando, considerando que el cartón puede tener de 1 a 30 huevos y, en cada uno de estos casos hay un determinado número de simetrías axiales, la suma de estos da el total de simetrías axiales del cartón de 5x6, distinto, por ejemplo, a un cartón de 3x4 (imaginario) o -el más fácil de explorar- al de media docena de 2x3. 
Es más, para huevear en profundidad, se pueden considerar tableros cuadrados que tienen 4 ejes de simetría, H, V, D1 (diagonal 1) y D2 (diagonal 2):

Para entretenerse. Eso si, sin romper los huevos. 

Formas binómica, rectangular o cartesiana y polar de un número complejo

Pinchando y arrastrando Z1 varía este, sus componentes rectangulares, su módulo y su argumento, observando la equivalencia entre las formas binómica, cartesiana y polar

Opuesto y conjugado de un número complejo

Pinchando y arrastrando en Z1 puedes ver como varía el complejo Z1, su opuesto y su conjugado:

Enigmatemágico 7: Un cuadrado pariente de los mágicos

Son bien conocidos los llamados cuadrados mágicos. Estos son tableros cuadrados de lado n, de manera tal que los enteros positivos desde 1 hasta n² se disponen para que la suma de los que aparecen en cada fila, columna o diagonal sea la misma.

Aquí vemos un ejemplo de lado n = 3 

Y aquí otro de lado n = 4 , muy especial, ya que aparece en una obra del pintor Alberto Durero, con muchas e interesantes propiedades:

Ahora bien, el problema que planteo aquí tiene un cierto parecido. 

Tomemos un cuadrado de lado n = 3, y dispongamos los  3² = 9 números desde 1 hasta 9. Distinguidos en colores aparecen los cuatro cuadrados de lado 2 contenidos en este cuadrado de lado 3 y las sumas de los números corrrespondientes:

¿Hay alguna forma de disponer los enteros positivos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 de manera tal que la suma de los cuatro números en cada uno de los cuatro cuadrados de lado 2 sea siempre la misma?

Enigmatemágico 6: una construcción geométrica

Pinchando y arrastrando cualquiera de los puntos A o B puedes modificar el cuadrado ABCD y pinchando y arrastrando cualquiera de los puntos E, G o H puedes variar el cuadrilátero EHFG. ¿Por qué el área de EHFG es siempre la mitad del área de ABCD?

Enigmatemágico 5: Una secuencia que se desinfla

Si les gustó la secuencia del enigmatemágico 4, esta les va a gustar más. Es el resultado de una sencilla modificación en la anterior: en vez de anotar el de la derecha menos el de la izquierda, escribimos el mayor menos el menor, y terminamos cuando se obtiene 0:

 ¿Prestaron atención a esta última?

Más ejemplos:

Hay muchas preguntas para hacerse. Una que se me ocurre: 

Para dos números iniciales, ¿en cuántos pasos se obtiene 0?

¿Y a ustedes?

Enigmatemágico 4: Jugar un poco, jugar bastante, jugar mucho. Una secuencia obsesiva.

Pocas veces, en una clase de matemáticas, los profes promovemos actividades que estimulen la creatividad y/o la exploración en cuanto a plantear nuevos problemas o  buscar resoluciones más sencillas y/o novedosas para problemas conocidos. Es más, pocas veces nos permitimos -alumnos y profes- jugar matemáticamente. En buena parte esto se debe a que los docentes estamos formateados por el modo en que nos enseñaron y porque la mayor parte del tiempo la dedicamos a cumplimentar la imprescindible tarea cotidiana de desarrollo de las clases, llenado de planillas de seguimiento, integración de mesas de examen, confección de trabajos prácticos y evaluaciones,  planificación y diseño de los actos que nos corresponden, etc. A esta lista se pueden agregar la elaboración de planificaciones y el llenado de libros de temas, acciones que, de la manera en que se llevan a cabo en la actualidad, considero -me van a pegar duro por esto- no cumplen el objetivo para las cuales fueron creadas. Por su puesto, para quien quiera debatirlo tengo argumentos y algunas alternativas que creo más rápidas y eficientes en lugar de llenar papeles porque lo solicitan directivos, supervisores, gabinetes, ministro de educación y presidente de la nación pero rara vez lo leen.

Después de esta breve digresión -que seguramente merece una discusión más amplia- vamos a lo que realmente importa.

La intención es, a partir de algún concepto o idea matemática (por ejemplo los números naturales o un subconjunto de ellos y las operaciones básicas, objetos geométricos con algún parámetro constante como perímetro, área, volumen, número de lados, de caras, o vértices, etc), divagar, dejar volar la imaginación para inventar o hacer algo fuera de lo común: disponerlos sobre un tablero bajo ciertas condiciones, operar con algunos a ver cuando se obtiene otro, formar un subconjunto en el cual cada elemento sea el resultado de ciertas operaciones con los otros, operar con los dígitos de un número e investigar si se obtiene el número o su doble o con las cifras invertidas; o explorar si hay alguna relación entre sus divisores y la suma de sus cifras, si la suma de sus cifras impares da igual que la suma de sus cifras pares, si es divisible por el número formado con algunas de sus cifras, si tiene las mismas cifras pero en otro orden en una base diferente, figuras o cuerpos con números en sus vértices de tal manera que la suma o la multiplicación de tanto, …

A continuación, un ejemplo concreto:

Elegimos dos enteros no negativos cualesquiera, por ejemplo 12 y 5. A continuación, escribimos a la derecha, la diferencia entre estos dos: el de la derecha menos el de la izquierda.

  

Y sucesivamente, repetimos el procedimiento: escribimos a la derecha la diferencia entre este último y su inmediato a la izquierda: 

Una vez más por si quedan dudas:

Continuamos hasta que -vaya uno a saber por qué- aparecen en el mismo orden los dos números iniciales:

Más ejemplos:

Algunas conjeturas después de mirar varios ejemplos (suposiciones acerca de "lo que ocurre", de las cuales no se sabe con certeza si son V o F):

No importa cuales sean los números iniciales, en la secuencia aparecen tres positivos y tres negativos

No importa cuales sean los números iniciales, en segundo y tercer lugar aparecen los opuestos

No importa cuales sean los números iniciales, la suma de los positivos que aparecen en la secuencia es el doble del número mayor inicial

No importa cuales sean los números iniciales, la suma de los seis números en la secuencia es 0

Se las dejo picando. A ver quien chutea y convierte...