Veraces y mentirosos

Este problema apareció el 16/6/14 en el envío semanal 15 de Olimpíada Matemática Argentina:

Hay 2000 personas paradas en una fila. Cada una de ellas es un mentiroso, que siempre miente, o un veraz, que siempre dice la verdad. Cada una de las personas dice la misma frase: “Hay más mentirosos a mi izquierda que veraces a mi derecha.” Determinar, si es posible, cuántas personas de cada clase hay en la fila. 

Al igual que el problema de los alumnos y los paseos, este me dejó desconcertado. Lo primero que vino a mi cabeza fue como todos dirigían la mirada hacia mi y exclamaban en tono neutro pero sistemático “Hay más mentirosos a mi izquierda que veraces a mi derecha”, al estilo de los "muertos vivos" que aparecen en el videoclip “Thriller” de Michael Jackson (1982).
Cuando se me pasó el miedo, aparecieron las ideas. 

Si me están mirando, ellos tienen su derecha a mi izquierda y su izquierda a mi derecha. Un diagrama puede aclarar la situación:

En primer lugar, supongamos que una persona miente. En consecuencia, es verdad lo contrario de lo que afirma la frase: los mentirosos a su izquierda son tantos o menos que los veraces a su derecha. Aclarémoslo más. Si la frase dice “los mentirosos a la izquierda son más que los veraces a la derecha”, entonces lo contrario es la negación de esto, es decir, no ocurre que los mentirosos a la izquierda son más que los veraces a la derecha, lo que entonces equivale a decir que los mentirosos a la izquierda son una cantidad igual o menor que los veraces a la derecha.

Resumiendo, si llamamos Mi al número de mentirosos a la izquierda y Vd al número de veraces a la derecha, tenemos:

Si hay 2000 personas, comencemos evaluando a la primera. Si miente, es verdad que Mi menor o igual que Vd. Pero no tiene veraces a la derecha, es decir, Vd = 0, y los Mi no pueden ser menos que 0!!!! Por lo tanto, esta contradicción nos conduce a que la persona 1 dice la verdad.

Esta conclusión nos lleva de inmediato a evaluar a la última persona. Si miente, entonces Mi es menor o igual que Vd. Como Mi = 0, entonces Vd puede ser cualquier número entre 0 y 1999, lo cual es perfectamente posible. ¿Qué pasa si suponemos que dice la verdad? En este caso, entonces Mi > Vd, pero no tiene mentirosos a la izquierda, o sea, Mi = 0 y los Vd no pueden ser menor que 0!!!! Otra vez arribamos a una contradicción. Por lo tanto, la persona 2000 miente. 
Entonces hasta aquí, la cuestión puede representarse así: 

A continuación evaluamos la persona 2. 
(1) Si miente significa que Mi menor o igual que Vd. Como Vd = 1, Mi = 0 o Mi = 1. Descartamos la primera posibilidad porque la última persona es M, en consecuencia, Mi = 1. Pero esto conduce necesariamente a que todos a la izquierda de 2 son V, excepto la persona 2000:

(2) Si 2 dice la verdad, Mi > Vd y como Vd = 1 entonces Mi puede ser cualquier valor entre 2 y 1998:

No hay nada que contradiga ninguna de las dos alternativas para la persona 2. Sin embargo, la posibilidad (1) es difícil que se verifique.

Sigamos indagando dando por sentado (1). Pero, ¿por dónde seguir? Si seguimos con 3, para no contradecir lo anterior debe ser V, lo que conduce a que Mi > 1. Entonces tenemos:

Entonces como mínimo una de las 1996 personas desde 4 hasta 1999 es M, pero esto se contradice con (1) que supone que 2 es M, porque si 2 es M desde la persona 3 hasta la 1999 son V!!!!. O sea que si 2 es M, 3 no puede ser ni M ni V, porque ambas llevan a contradicción!!!! Entonces 2 no es M o es lo mismo decir que 2 es V.
Luego, hasta aquí la cuestión es así:

Adelante, no desesperes.

Variación del cociente incremental cuando el incremento en x (Δx) tiende a 0

La animación muestra como varía el cociente incremental Δy/Δx o, lo que es lo mismo, la pendiente de la recta r cuando el cambio en x (Δx)  tiende a 0.

Alumnos y paseos.

Este problema apareció el 12/5/14 en el envío semanal 10 de Olimpíada Matemática Argentina:

En una clase de 20 alumnos se organizan varios paseos. En cada paseo hay al menos un alumno que participa de ese paseo. Demostrar que hay un paseo tal que cada uno de los alumnos que fue a ese paseo también fue a por lo menos 1/20 del total de todos los paseos. 

Por suerte, los problemas de OMA no dejan de sorprenderme. Este en particular, porque apenas terminé de leerlo quedé tan perplejo como sencillo es el enunciado. Obviamente, como se imaginarán, releí el texto no menos de una docena de veces, y no tenía ni la menor idea por dónde empezar. Los envíos seguían llegando y este quedó relegado para cuando con tiempo y mucho coraje pudiera garabatear algo. Un día me lo propuse. Sólo transcribí la escasa información, pero no atiné a nada. Pasaron un par de semanas y volví a sentarme, y se me ocurrió algo.

Llamamos a a la cantidad de alumnos que asisten a por lo menos un paseo y p a la cantidad de paseos. Podemos escribir un conjunto fila de alumnos y un conjunto fila de paseos con el objeto de establecer que tipo de correspondencia y/o relaciones hay entre ellos. Por ejemplo, supongamos  a = 1 y p = 2:

 Ahora supongamos  a = 2 y p = 2:

Pasemos al caso  a = 3 y p = 2. Como a > p, hay algún P (no importa cual) que recibe a 2 alumnos:

Pero puede ser que algunos alumnos o todos vayan a más de un paseo:

El caso extremo es que todos los alumnos vayan a todos los paseos:

Mirando estos ejemplos descubrí estas relaciones:

Las salidas de las flechas de cualquier A me indican a cuantos paseos fue ese alumno.
Las llegadas de las flechas a cualquier P me indican cuántos alumnos fueron a ese paseo.
Como cada flecha tiene una "salida" y una "llegada", la suma de todas las salidas es igual a la suma de todas las llegadas e igual al total de flechas. Esto es, la suma de todos los paseos a los que fueron los a alumnos es igual a la suma de los alumnos que fueron a los p paseos.

Veamos que se cumplen en los tres últimos ejemplos:

Además, el mínimo de flechas es a (si a > p) y el máximo es a.p :

A partir de aquí, pude escudriñar un camino para resolver el problema. Como siempre, una parte queda para vos. Que disfrutes del paseo. Al fin y al cabo, de eso se trata un buen problema, de un buen viaje más allá de un buen destino.

¿Qué son las matemáticas? Parte 2 : Matemáticos en primera persona.

En este espacio se ha planteado y discutido la enseñanza de las matemáticas en referencia a la concepción del quehacer matemático y qué son las matemáticas. Es muy gratificante para mi -desde el llano- observar como los especialistas confirman y avalan algunos de los principios que desde aquí sostenemos, como por ejemplo, la resignificación de los tiempos y los espacios en el aula para la exploración y la discusión y la no linealidad en las clases. 

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Pendiente de una recta

Llega el verano y tenemos la suerte de poder ir a la casa de nuestro mejor amigo que cuenta con una hermosa piscina cuyas generosas dimensiones son 40 dm x 30 dm x 15 dm -largo por ancho por profundidad- o es lo mismo decir 4m x 3m x 1,5m, por lo cual su volumen o capacidad es de 18000 dm³ (decímetros cúbicos) = 18000 l (litros) = 18 m³ (metros cúbicos). 

El caudal de la canilla que hay a mano para conectar una manguera y llenar la pileta es de 12 l/minuto (12 litros por minuto). Después de ayudar a nuestro amigo a limpiar la pileta, ponemos a llenar la misma. Pasa el tiempo y el volumen de agua en la pileta aumenta. Más precisamente, por cada minuto el volumen aumenta 12 litros. Con esta idea clara, establecemos una relación entre los minutos a lo largo de los cuales permanece abierta la canilla y los 12 litros que se van incorporando a la piscina en cada uno de ellos: 

Si reiteramos este proceso, con paciencia, podemos arribar al tiempo necesario para llenar la pileta. Por su puesto, podemos “saltar” en el tiempo no cada un minuto, sino cada 10, 20, 60 o mayor aún, por ejemplo, 5 o 10 horas:

Ahora podemos representar la “conexión” entre las dos variables  -tiempo desde que comenzó a llenarse la pileta y volumen en la misma- en un sistema de ejes cartesianos:

Podemos ajustar la escala en el eje de abscisas y representar valores hasta el minuto 1500 y en el eje de ordenadas hasta el litro 18000:

Entonces, la pendiente de la recta es la relación (razón o división) entre los cambios de ambas variables representadas. 

En otras palabras, cuánto cambio o variación de una se asocia con tanto cambio o variación de la otra. Indica el vínculo, nexo o puente entre lo que varían o cambian las dos variables en juego.
En nuestro ejemplo, un cambio de un minuto en el tiempo que permanece abierto el grifo produce un cambio de 12 litros en el volumen de agua en la pileta.

En otras situaciones ocurre que un cambio positivo o aumento en una variable produce una variación negativa o disminución en la otra. Por ejemplo, aquí vemos como la longitud de un sahumerio disminuye a medida que aumenta el tiempo desde que se encendió:

En este caso, el significado de la pendiente es que cada 1 minuto, la longitud del sahumerio cambia -2 cm, o sea, disminuye 2 cm.