Enigmatemágico 3: Caminos en el rombotriangulado

Cierre del año y cierre de planillas de notas, explosiones de alegría o tristeza, reclamos, llantos, discusiones, agradecimientos, más oportunidades y demás han absorbido con exclusividad mi tiempo impidiéndome publicar en este espacio.

El sábado de la semana pasada, un poco más aliviado, un día especial, dediqué buena parte del día a rememorar y diagramar como contarles este problema con el que me topé hace poco más de dos años. Trataré de dar detalles porque es muy ilustrativo a mi entender en cuanto a como muchos quisiéramos que funcione -al menos en parte- el aula de matemáticas.

Todo comenzó, como muchas veces, por un problema de olimpíada, cuya autoría pertenece a las doctoras Patricia Fauring y Flora Gutiérrez, que siempre han sido y son fuente de inspiración para encontrar, pensar, plantear y resolver problemas, más allá de las diferencias que sostengo con algunos modos de gestión y organización de OMA (Olimpíada Matemática Argentina).

Flora Gutiérrez

Patricia Fauring

Se tiene un rombo con ángulos de 60° y 120° y una medida n de lado. Además, trazando paralelas a los lados y a la diagonal menor, el rombo queda triangulado. A cada triángulo equilátero determinado lo llamamos casilla. Vemos en la figura los ejemplos para n = 1, n = 2, n = 3 y n = 4:

Alejado del problema original, imbuído de un espíritu erdösiano, me enfoqué en determinar cuántos caminos existen para ir de la casilla extrema superior a la casilla extrema inferior, teniendo en cuenta que sólo es posible pasar de una casilla a otra si estas tienen un lado en común. 

Por ejemplo, en la figura vemos el único camino posible para n = 1 y los 2 caminos posibles para n = 2:

Encaré el desafío como a fines de agosto de 2011, convencido de que no me demandaría mucho tiempo resolverlo. Mientras estudiaba algunos casos particulares, advertía ciertas regularidades, lo cuál me entusiasmaba aún más. Sin embargo, no podía terminar de definir qué era lo que tenían en común esas regularidades. Sabía por instinto que la solución estaba ahí, delante de mis ojos, en medio de innumerables diagramas, gráficos, anotaciones al margen, etc. Pasó un mes, y en cada ratito libre volvía a los apuntes y los revisaba. Nada. Intentaba un diagrama nuevo, rotaba la figura, y en ocasiones establecía nuevos patrones, pero no me ayudaban. En una oportunidad di con una forma sistemática de contar, pero se complejizaba al extremo cuando n superaba 5 o 6. Otro mes había pasado.

Mi hijo Tomás es testigo en qué grado el problema me tenía capturado. Compartíamos los días jueves desde que iba a buscarlo a la escuela al mediodía. Terminábamos de almorzar y cuando el se ponía a hacer su tarea, yo me ponía con la mía. Observaba los diagramas y preguntaba "...todavía estás con eso...?" y mi respuesta era la misma: "...si, no logro resolverlo...". Hasta las 19, momento en que me aprontaba para llevarlo a su clase de inglés, no paraba. A veces hacía una pequeña siesta por el fastidio o por el cansancio de ir hacia atrás y hacia adelante, revisar y no hacer progreso alguno. Así transcurrió un mes más.

Cierto día que creo que era miércoles -en estos disponía de más tiempo- encontré una conexión, un puente, entre mi problema y un concepto requeterrearchiconocido por cualquier aficionado a las matemáticas.  Había pasado por alto cómo esta idea "encajaba" en una regularidad que había repasado una y mil veces. En 30 segundos volví a plantear el problema y en otros 30 quedó resuelto. Fin de la historia. Vericuetos de la mente humana, vió...