Teorema del seno

En primer lugar, una demostración del teorema del seno o ley del seno, basada en descomponer al triángulo original ABC en cuatro triángulos rectángulos -CAD, ADB, AIB y CIB- trazando las alturas ha y hb correspondientes a los lados a = CB y b = AC. 

Y más abajo, pinchando en los puntos A, B o C y arrastrando, puedes modificar los lados a, b y c del triángulo ABC y observar como se verifica la doble igualdad que constituye la identidad del teorema del seno.

Teorema del coseno

Aquí tienes, en primer lugar, una demostración del teorema del coseno o ley del coseno, basada en descomponer al triángulo original ABC en dos triángulos rectángulos -CAD y ADB- trazando la altura correspondiente al lado a = CB. 

Y más abajo, pinchando en los puntos A, B o C y arrastrando, puedes modificar los lados a, b y c del triángulo ABC y observar como se verifica la igualdad de los dos miembros que constituyen la identidad del teorema del coseno.

Enigmatemágico 1: Pirámide con propiedades

Mirando una vieja revista con pasatiempos, encontré unas pirámides numéricas. Y, medio resolviendo y medio divagando, se me planteó el problema que describo a continuación.

Si armamos pirámides que tengan como base a una fila con los números naturales desde 1 hasta n, y luego, cada elemento en una fila superior es la suma de los dos que tiene debajo, entonces en la última fila o cima aparece un número  que llamaremos número final. 
Vemos las pirámides para los primeros 5 intervalos iniciales naturales:

Si observas, las filas presentan algunas regularidades interesantes: por ejemplo, en la segunda fila (de abajo hacia arriba), aparecen los números impares. ¿Y en la tercera?

Más allá de esta y otras cuestiones que puedes descubrir, la pregunta que me interesó es: 
¿Cómo calcular el número final f(n) a partir  de n sin necesidad de construir la pirámide?

Ecuaciones, segunda estación: ecuamágicas

Por ejemplo, supongamos que recuerdas que en el kiosko de la escuela un agua saborizada  y una barrita de cereal cuestan $10:

Además sabes que el agua saborizada  cuesta  $2,50 más que una barrita:

 Luego:

Por lo tanto:

Entonces:

y, en consecuencia: