Enigmatemágico 2: Números de ronda

El año pasado me puse a trabajar sobre un problema de olimpíada. Era el de primer nivel de OMA en el envío número 9 de 2012. A medida que progresaba y entendía un poco más, descubrí un nuevo problema.
Se elige un número entero positivo cualquiera que llamaremos n. Luego, lo multiplicamos por 2, obteniendo el número par 2n. Por ejemplo, si elegimos n = 4, al multiplicarlo por 2 obtenemos el entero par 2.4 = 8 . Ahora, escribimos los enteros desde 1 hasta 8, y, los separamos en dos grupos, menores y mayores:

Ahora colocamos alrededor de un círculo, en sentido horario, un mayor, un menor, un mayor, un menor y así sucesivamente. Luego, anotamos cuánto hay que crecer o decrecer al “saltar” de uno a otro (valor absoluto de la diferencia entre dos consecutivos). Por último, sumamos estos crecimientos o decrecimientos:

Pero claro, no es la única manera de disponer los números. Otra forma es:

Oooh... La suma vuelve a dar 32...¿casualidad?
A ver un ejemplo más:

Cosa de mandinga... Otra vez 32. 

¿Por qué, sin importar el orden en el cual disponemos los números, la suma de crecimientos/decrecimientos da 32? 

¿Hay relación entre el n = 4 que elegimos al principio y el 32 que da la suma? ¿Qué ocurre si elegimos otro valor de n? 

¿De cuántas formas se pueden ordenar los números? 
¿Depende del n qué se elige al comienzo?

Un sistema lineal 2x2: 2 ecuaciones con 2 incógnitas

Ahora la idea es encontrar los valores x e y que cumplen con las dos ecuaciones simultáneamente, es decir, tanto la ecuación "estrella" como la ecuación "trébol" a la vez. A cada uno de estos se lo llama par ordenado solución del sistema. Por lo tanto, si se verifica una ecuación pero no la otra, el par ordenado será solución de dicha ecuación pero no de la otra y por lo tanto no es un par ordenado solución del sistema. Un semáforo irá indicando tu desempeño. Por último, no recurras a las "ayudas" sin haber puesto todo tu esfuerzo en el intento. 

Ahora con dos incógnitas

Trata de descubrir tres pares de valores x e y para que el resultado de las operaciones en el primer miembro sea igual al segundo miembro (pares ordenados solución). Las opciones "Ayuda" y "Representación gráfica" sólo estarán disponibles después que realices al menos un intento para cada par ordenado.

Jugando con ecuaciones sencillas

Calcula el valor de la incógnita x (teniendo en cuenta la prioridad de las operaciones) e ingrésalo en la casilla para verificarlo. 

Si es necesario, tilda la opción "Ayuda" y con el deslizador podrás ir cambiando el valor de x hasta controlar que ambos miembros de la ecuación sean iguales.

Suma y resta de enteros.

Representación de la suma de dos enteros

Aprieta el botón y observa la presentación. Si necesitas más tiempo para comprender algún ejemplo, presiona la pausa abajo a la izquierda.




Representación de la resta de dos enteros

Aprieta el botón y observa la presentación. Si necesitas más tiempo para comprender algún ejemplo, presiona la pausa abajo a la izquierda.

Opuesto y valor absoluto de un entero

Primera construcción interactiva programando en GeoGebra.
De acuerdo a la posición del punto A, ingresa el valor que representa, el valor opuesto y el valor absoluto. Luego mueve el ratón y haz clic para comprobar tus respuestas. Para otro ejercicio, aprieta el botón "Nuevo".

Actividades interactivas de operaciones con polinomios

Aquí puedes practicar las operaciones con polinomios todas las veces que quieras. El sistema te indicará si tus respuestas son acertadas o no.

:




Regla de Ruffini o división sintética

Se puede usar cuando el polinomio divisor es de la forma x + a  o  x - a. Si es x + a, el cero o raiz es -a. Si es x - a, el cero o raiz es a. En el ejemplo, el polinomio divisor es x + 1 por lo tanto su cero o raíz es -1:

Práctica de la regla de Ruffini fácil

Rellena las casillas de acuerdo a los polinomios dividendo y divisor. Si son correctos, aparecerán los cálculos. Luego completa las dos casillas de abajo con el polinomio cociente y el polinomio resto.